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在电阻抗断层成象技术(EIT)的研究中提出并推导了一种较为严格的图象重构算法-广义逆法，在此基础上针对EIT的病态性问题，对该算法进行了改进，并在一种新的计算机有限元模型上实现了该算法，重构出了反映阻抗变化量的图象(即动态成象)。改进的广义逆法突破了原广义逆法在剖分规模上的限制，能在较大的剖分规模上进行，更有利于图象的重构。将该算法用于计算机仿真研究，结果表明：改进的广义逆法与现有算法-等位线法相比，成象定位更准确、重构图象的误差小，在信号信噪比较高时能较好地重构出阻抗分布复杂的模型。最后，对改进该算法的噪声性能进行了讨论。
分类号： R318.19
A PRACTICAL RECONSTRUCTION ALGORITHM
OF DYNAMIC ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPHY
Dong Xiuzhen, Qin Mingxin, Tang Mengxing, Fu Feng, Shi Xuetao, You Fusheng
(Bio Medical Engineering Department of the Forth Military Medical University, Xian 710032)
ABSTRACT
A rigid electrical impedance tomography(EIT) reconstruction algorithm-general inversion algorithm was presented. To improve the ill-posed condition, we modified the algorithm and implemented it on a new FEM model, and get the image of impedance change(dynamic image). This modified general inversion algorithm(MGIA) could be implemented on a bigger dimension FEM model, so could do good to reconstruction. When implementing this algorithm on computer simulative condition, we found that the MGIA had a more accurate location ability and a smaller reconstruction error than the now-generally-used algorithm-equi-potential-back-projection algorithm. When having a relatively high SNR data, it could reconstruct images of complicated model. Finally, noise performance and improving method were discussed.
Key words: Electrical impedance; Tomography; General inversion matrix
0 引 言
电阻抗断层成象(EIT)技术是医学成像技术的一个新方向。它可分为静态(static)和动态(dynamic)两种。动态EIT技术以被测物体(人体)电阻抗的变化量的相对值为成象目标，通过向该物体注入驱动电流(电压)，测量边界电压(电流)，利用测量到的边界数据重构出反映物体阻抗变化相对值的图象(目前的研究基本限于二维)［1］。而静态EIT与此不同之处在于其要得到的是阻抗分布的绝对值。动态EIT技术是目前在进行临床应用研究并取得了较好结果的EIT技术［2］，但其成象有一定的误差，造成误差的原因之一是现有的算法和重构模型都有不足之处。这里提出了一种较为严格的动态图象重构算法-广义逆法，并对算法进行了改进，在一种新的有限元模型上实现了该算法，用此算法在仿真模型上重构出了较为理想的图象。
1 广义逆重构算法的推导
当给被测物体(人体)施加驱动电流后，便在物体内形成一个电场，场电位函数v由Laplace方程给出：
其中c是场域电导率分布(人体的阻抗这里可认为伫似是实的，是纯电阻［2］)。重建阻抗断层图像就是已知v求c。而动态成像则是已知v的变化量求c的变化量。由于v是c的函数，这是一个非线性问题，直接求解c很困难。
Laplace方程可写成：
 (1)
设vr是方程(1)的解，而当Rr变化至Rr+Rp时，方程变为：
 (2)
方程(2)的解设为v=vr+vp,则：
这里引入一个假设：电导率变化量Rp较小，则vp与vr相比较起来也较小，方程可近似为［3］：
 (3)
这表明在区域电导率变化较小的情况下，电导率对数的变化与电压的变化呈一种近似的线性关系。因此可以用一个线性的变换来表示这个关系：
Δv=F*Δr(4)
Δv表示电压变化量，Δr表示电导率对数的变化，F称为正向矩阵。一般情况下，F不是方阵，可设F＋是F的穆尔-彭罗斯广义逆阵，F阵为mn的矩阵，其中n＜m，则根据穆尔-彭罗斯广义逆阵性质定理有：
F＋*F=E (其中E为单位阵)(7)
由式(4)可得：
F＋*Δv=F＋*F*Δr(8)
将(7)式代入得：
F＋*Δv=Δr(9)
以上推导表明：只要得到正向矩阵F的广义逆阵F＋，即可求得阻抗变化的分布。
2 算法以及模型的改进
广义逆法在理论上是可行的，但在具体实现过程中，由于F矩阵的病态性，使其对误差非常敏感。而计算机舍入误差、数值计算误差、测量误差又不可避免，所以，在有限元剖分(算法在计算机上的实现需要建立重构模型并将其离散，现在广泛采用成熟的有限元方法建模并将区域离散进行求解)规模较大时，该算法的结果是发散的。针对这一问题，对算法进行了改进，改进方法如下：
在求广义逆阵的时候需要先进行F矩阵的奇异值分解：
F=U∑VT
U和V代表矩阵的特征向量，∑是一个矩阵，对角线元素代表矩阵的奇异值。这里奇异值表明数据对重构图象的影响情况，小的奇异值表示图象受噪声影响大［4］。一个矩阵的病态性由矩阵的最大和最小奇异值的比决定。随着最小奇异值趋于零，病态性将越来越严重。而小的奇异值除了与EIT问题本身有关外，还与各种误差有关。这里，将分解得到的奇异值进行了修正，取一定小的值α为门限，小于α的奇异值均置为α，然后再求逆。这个过程相当于用一个病态性较小的矩阵近似代替原有的病态性较大的矩阵，虽然损失了一定的有用信息，但换取了病态性的改善，使广义逆法能在大的剖分规模上进行。
现在EIT技术研究中常用的有限元模型剖分方案不同，但单元大小基本一致(如图1)［5］，若按这种模型计算其正向矩阵F，则会发现其在一定规模剖分时就会病态严重。主要原因在于阻抗成象技术存在一个特点：边界测量对被测区域中心部分(即远离电极的部分)的阻抗变化不敏感，使算得的正向矩阵的条件数较大。若根据此正向矩阵进行图象重构，则区域中心阻抗的重构对噪声和误差非常敏感，一点误差将导致阻抗的很大变化，而且随着剖分元素的增多而尤为突出。对于一个实用的系统，测量误差、噪声和计算机字长限制是不可避免的，这势必导致成像的严重误差乃至成象的发散。针对这一问题，对现在常用的有限元重构模型进行了改进，在区域剖分时将内部中心的元素面积扩大，而缩小外部的元素面积(如图2)。这样由于元素面积的增大使中心元素阻抗的变化对边界的影响增大，改善了由于中心区域的不敏感造成的矩阵病态性。分别计算了在剖分元素数为252时，用原有的有限元模型和改进的有限元模型得到的正向矩阵，并计算了矩阵的条件数。发现改进模型的正向矩阵的条件数比原有的模型的条件数小了一个数量级，矩阵的病态性得到明显改善。
图1 常用的有限元模型
图2 改进的有限元模型
3 算法重构结果与讨论
3.1 改进广义逆法与广义逆法的比较
首先，将改进的广义逆法与广义逆法在不同剖分规模的模型上的成象结果作一比较，如图3。说明一点：这里所建立的成象目标为阻抗分布的变化，为了简化问题，将变化前的阻抗分布设为均匀。
图3 图中上下为在不同剖分规模模型上的仿真模型及结果
a.成象的仿真模型；b.广义逆法的成象结果；c.改进广义逆法的成象结果
从图中可以看出，在剖分规模较小时，广义逆法和改进的广义逆法结果基本相同，都能较好地反映出成象目标的位置和形状。但随着剖分规模扩大到一定程度，广义逆法的结果就会发散，而改进的广义逆法仍然可以重构出较为理想的图象。
3.2 改进广义逆法与等位线法的比较
下面将改进广义逆法与等位线法的重构结果进行了比较：首先建立了两种不同的重构模型，一个是简单的单一目标模型，另一个是较复杂的多目标模型。这两种目标是具有代表性的，其中后一个模型目标间距小，并且分别分布在模型的外中内层，由于外、中、内层阻抗变化对边界的影响不同，这种模型能反映出算法的优劣；接着分别用改进的广义逆法和等位线法对两模型进行了图象重构(如图4)，并计算了两种算法的重构误差。
图4 改进的广义逆法与等位线法成象结果的比较图中上下为两个不同的仿真模型及结果
a.成象目标；b.等位线法的成象结果；c.改进广义逆法的成象结果
从图4中可以清楚的看出，改进的广义逆法在成象质量上远远优于等位线法。不仅前者成象清晰，而且对较复杂的模型，等位线法已分辨不出不同的目标，而改进的广义逆法还能较好地分辨出不同目标的形状。另一方面，算法的性能还可从重构误差上看出来，这里定义的重构误差是指模型图象与重构图象各象素值标准化到(0～1)区间后的差的平方和。等位线法重构这两种模型的重构误差分别为：2.69和19.02，明显大于修正广义逆法的重构误差：0.77和9.49。
3.3 算法的噪声性能
通过以上的工作我们认为：改进的广义逆法是一个性能较优的动态EIT重构算法，与广义逆法相比，它改善了系统的病态性，能在较大的剖分规模上进行，更趋于实用；与现有的流行算法-等位线法相比，从成象的定位、成象误差、图象的清晰程度上都是较优的。同时也看到：该算法的噪声性能并不十分理想，改善算法的噪声性能、降低算法对系统信噪比的要求是一个实际的问题。改善算法噪声性能的一个重要方面是提高算法中数字计算精度，如：有限元计算精度、解方程的精度以及奇异值分解的精度等，这都还需要进一步的工作。
 
图5 a.重构仿真模型
b.仿真混入方差为信号均值1‰的白噪声时，
改进广义逆法对模型重构的结果
4 参考文献
1，Barber DC, et al. Applied potential tomography. J Phys E: Sci Instrum, 1984,17:723～733
2，Smith RWM, et al. A real-time electrical impedance tomography system for clinical use-desing and preliminary results. IEEE Trans on BME, 1995,42(2):133～140
3，Barber DC, et al. Fast reconstruction of resistive images. Clin Phys Physiol Meas, 1987,8(supplement A):47～54
4，S Meeson, et al. The dependence of EIT images on the assumed initial conductivity distribution: a study of pelvic imaging. Phys Med Biol, 1995,40:643～657
5，Murai T, et al. Electrical impedance computed tomography based on a finiteelement model. IEEE Trans Biomed Eng BME, 1985,32:177～184
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